晏略殊定理及整数幂个位数的数学命题

一，晏略殊定理

（一），定理内容：正方形内任意一点，向其各边中点的连线，构成四个不规则的四边形，其中相对的两个四边形面积之和等于另外两个相对四边形的面积之和。即：SA+SC=SB+SD

图1

（二），证明：

1，当正方形内的一点，在其相邻的各边中点连线组成的正方形之内时。（如图2）

图2

图3

如图3设：S1+S2 =SA

S3+S4 =SB

S5+S6 =SC

S7+S8 =SD

SA+SC=S1+S2+S5+S6 SB+SD=S3+S4+S7+S8    

S1=S8，S2=S3，S4=S5，S6=S7。

SA+SC =S1+S2+S5+S6=S8+S3+S4+S7

= SB+SD

即：SA+SC=SB+SD

2，当正方形内的一点，在其相邻的各边中点连线组成的正方形的边上时。

如图4在正方形abcd中，e、f、g、h分别为各边ab，bc，cd，ad的中点，o在正方形efgh的一条边上，则三角形aeh可视为特殊的四边形aeoh。

图4

设：Shogd=SA，Saeh=SB，Seofb=Sc，Sfogc=SD 。如图5

因为Sgoc=Sdog ，Scof=Sfob，Saoh=Shod，Saoe=Seob

图5

所以SA+SC= Shod+ Sdog+ Sfob + Seob　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

= Saoh +Sgoc+ Scof + Saoe

= Saeh+ Sfogc = SB+SD

即：SA+SC=SB+SD

3，当正方形内的一点，在其相邻的各边中点连线组成的正方形之外时。

如图6所示：

在正方形abcd中，e、f、g、h分别为各边ab，bc，cd，ad的中点，o在正方形efgh之外。　　　　　

图6

设：Shogd=SA，Saeoh=SB，Seofb=Sc，Sfogc=SD（如图7所示）

则：SA+SC=SB+SD（证法同证明2）　　

图7

（三），定理应用：

图8

例题：已知（图8）正方形部分区域面积，求阴影？

图9

解法一（常规法）：如图9首先将四个四边形分解为八个小三角形并设它们的面积分别为：S1，S2，S3，S4 ，S5，S6，S7，S8 。

在面积为S1的三角形内做垂线可以证明

S1=S8。同理：S2=S3，S4=S5，S6=S7。

S1+S2+S3+S4+S5+S6=16+20+32

S8+S2+S3+S4+S5+S7=68

S8+S3+S3+S4+S4+S7=68

S7+S8=68-40

S7+S8=28                           

解法二（定理法）：  如图8所示。

设阴影四边形面积为X，则

20+X=16+32

X=28

二，整数幂个位数的数学命题：

当整数A不等于零时, 其5+4n（n为自然数）次幂的个位数等于原整数A的个位数或A本身。

作者简介：晏略殊（1973.09---），原名郝栎铭，又名郝立明。诗人，爱好数学和哲学。与诗人张智创立了后意象诗派。发现和证明了晏略殊定理，提出了整数幂个位数的数学命题。曾获得《中国诗人》年度诗歌奖、“中国当代诗歌奖”（2017—2018）等奖项。出版诗集《暗河记》《九度九》等。